极限法
1 什么叫极限法?
所谓极限法，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学方法．极限法的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果．极限法不同于一般的代数方法，代数中的加、减、乘、除等运算都是由两个数来确定出另一个数，而在极限法中则是由无限个数来确定一个数．很多问题，用常量数学的方法无法解决，却可用极限法解决．
例如，已知抛物线y2＝2x．（1）在抛物线上任取二点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），经过线段P1P2的中点作直线平行于抛物线的轴，和抛物线交于点P3，证明△P1P2P3的面积为（1／16）.｜y1－y2｜3；（2）经过线段P1P3、P2P3的中点分别作直线平行于抛物线的轴，与抛物线依次相交于Q1、Q2，试将△P1P3Q1与△P2P3Q2的面积之和用y1、y2表示出来；（3）依照（2）又可作出四个更小的三角形，如此继续下去可以作一系列的三角形，由此设法求出线段P1P2与抛物线所围成的图形的面积．（1965年高考数学试题第7题）
在该题中，为了推导所求抛物弓形的面积，必须借助于极限法．
就像坐标法是解析几何的基本方法一样，极限法是微积分的基本方法，微积分中的一系列重要概念，如函数连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限法定义的．如果要问：“微积分是一门什么学科?”那么可以概括地说：“微积分是用极限法来研究函数的一门学科．”
2 极限法思想是从哪儿来的?
与一切科学方法一样，极限法也是社会实践的产物．
极限法的思想可以追溯到古代．刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始极限观念的应用．古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”，而是借助于简接证法──归谬法完成有关证明．
到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法证明步骤．如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用的概念的方向”．
极限法的进一步发展与微积分的建立紧密联系．16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力得到很大的发展，生产和技术中大量的问题，只用初等数学的方法已无法解决，要求数学突破只研究常量的传统范围，而提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具，这是促进极限发展、建立微积分的社会背景．
起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分，后来因遇到了逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想．牛顿用路程的改变量ΔS与时间的改变量Δt之比ΔS／Δt表示运动物体的平均速度，让Δt无限趋近于零，得到物体的瞬时速度，并由此引出导数概念和微分学理论．他意识到极限概念的重要性，试图以极限概念作为微积分的基础．他说：“两个量和量之比，如果在有限时间内不断趋于相等，且在这一时间终止前互相靠近，使得其差小于任意给定的差别，则最终就成为相等．”但牛顿的极限观念也是建立在几何直观上，因而他无法得出极限的严密表述．牛顿所运用的极限概念，只是接近于下列直观性的语言描述：“如果当n无限增大时，an无限地接近于常数A，那么就说an以A为极限．”
这种描述性语言，人们容易接受，现代一些初等的微积分读物中还经常采用这种定义．但是，这种定义没有定量地给出两个“无限过程”之间的联系，不能作为科学论证的逻辑基础．
正因为当时缺乏严格的极限定义，微积分理论才受到人们的怀疑与攻击，例如，在瞬时速度概念中，究竟Δt是否等于零?如果说是零，怎么能用它去作除法呢?如果它不是零，又怎么能把包含着它的那些项去掉呢?这就是数学史上所说的无穷小悖论．英国哲学家、大主教贝克莱对微积分的攻击最为激烈，他说微积分的推导是“分明的诡辩”．
贝克莱之激烈攻击微积分，一方面是为宗教服务，另一方面也由于当时的微积分缺乏牢固的理论基础，连牛顿自己也无法摆脱极限概念中的混乱．这个事实表明，弄清极限概念，建立严格的微积分理论基础，不但是数学本身所需要而且有着认识论上的重大意义．
3 极限法的完善
极限法的完善与微积分的严格化密切联系．
在很长一段时间里，微积分理论基础的问题，许多人都曾尝试解决，但都未能如愿以偿．这是因为数学的研究对象已从常量扩展到变量，而人们对变量数学特有的规律还不十分清楚；对变量数学和常量数学的区别和联系还缺乏了解；对有限和无限的对立统一关系还不明确．这样，人们使用习惯了的处理常量数学的传统思想方法，就不能适应变量数学的新需要，仅用旧的概念说明不了这种“零”与“非零”，相互转化的辩证关系．
到了18世纪，罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础概念，并且都对极限作出过各自的定义．其中达朗贝尔的定义是：“一个量是另一个量的极限，假如第二个量比任意给定的值更为接近第一个量．”它接近于极限的正确定义，然而，这些人的定义都无法摆脱对几何直观的依赖．事情也只能如此，因为19世纪以前的算术和几何概念大部分都是建立在几何量的概念上面的．
首先用极限概念给出导数正确定义的人，是捷克数学家波尔查诺，他把函数f（x）的导数，定义为差商Δy／Δx的极限f′（x），他强调指出，f′（x）不是两个零的商．波尔查诺的思想是有价值的，但关于极限的本质他仍未说清楚．
到了19世纪，法国数学家柯西在前人工作的基础上，比较完整地阐述了极限概念及其理论，他在《分析教程》中指出：“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值．”特别地，当一个变量的数值（绝对值）无限地减小使之收敛到极限0，就说这个变量成为无穷小．
柯西把无穷小视为以0为极限的变量，这就澄清了无穷小“似零非零”的模糊认识，这就是说，在变化过程中，它的值可以是非零，但它变化的趋向是“零”，可以无限地接近于零．
柯西试图消除极限概念中的几何直观，作出极限的明确定义，然后去完成牛顿的愿望．但柯西的叙述中还存在描述性的词语，如“无限趋近”、“要多小就多小”等，因此还保留着几何和物理的直观痕迹，没有达到彻底严密化的程度．
为了排除极限概念中的直观痕迹，维尔斯脱拉斯提出了极限的静态的定义，给微积分提供了严格的理论基础．所谓an＝A，就是指：“如果对任何ε＞0，总存在自然数N，使得当n＞N时，不等式｜an－A｜＜ε恒成立．”
这个定义，借助不等式，通过ε和N之间的关系，定量地、具体地刻划了两个“无限过程”之间的联系．因此，这样的定义是严格的，可以作为科学论证的基础，至今仍不显得陈旧．在该定义中，涉及到的仅仅是数及其大小关系，此外只是给定、存在、任取等词语，已经摆脱了“趋近”一词，不求助于运动的直观．
众所周知，常量数学静态地研究数学对象，自从解析几何和微积分问世以后，运动进入了数学，人们有可能对物理过程进行动态研究，之后，维尔斯脱拉斯建立的ε-N语言，则用静态的定义刻划变量的变化趋势．这种“静态──动态──静态”的螺旋式的演变，反映了数学发展的辩证规律．
综上所述可见，极限法的引入与完善是出于社会实践的需要，是几代人奋斗的结果，不是哪一个数学家苦思冥想出来的．
4 极限法的思维功能
极限法在现代数学乃至物理等学科中有广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能所决定蹬．极限法揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用．借助极限法，人们可以从有限认识无限，从“不变”认识“变”，从直线形认识曲线形，从量变认识质变，从近似认识准确．
无限与有限有本质的不同，但二者又有联系，无限是有限的发展．无限个数目的和不是一般的代数和，把它定义为“部分和”的极限，就是借助极限法，从有限认识无限．
“变”与“不变”反映了事物运动变化与相对静止两种不同状态，但它们在一定条件下又可相互转化，这种转化是“数学科学的有力杠杆之一”．例如，要求变速直线运动的瞬时速度，用初等方法是无法解决的，困难在于这时速度是变量．为此，人们先在小范围内用匀速代替变速，并求其平均速度，把瞬时速度定义为平均速度的极限，就是借助极限法，从“不变”认识“变”．
曲线形与直线形有本质的差异，但在一定条件下也可相互转化，正如恩格斯所说：“直线和曲线在微分中终于等同起来了．”善于利用这种对立统一关系是处理数学问题的重要手段之一．直线形的面积容易求得，要求曲线形的面积，只用初等的方法就不行了．刘徽用圆内接多边形逼近圆，一般地，人们用小矩形的面积和逼近曲边梯形的面积，都是借助极限法，从直线形认识曲线形．
量变和质变既有区别又有联系，两者之间有着辩证关系．量变能引起质变，质和量的互变规律是辩证法的基本规律之一，在数学研究工作中起重要作用．对任何一个圆内接正多边形来说，当它边数加倍后，得到的还是内接正多边形，是量变，不是质变．但是，不断地让边数加倍，经过无限过程之后，多边形就“变”成圆，多边形面积变转化为圆面积．这就是借助极限法从量变认识质变．
近似与准确是对立统一关系，两者在一定条件下也可相互转化，这种转化是数学应用于实际计算的重要诀窍．前面所讲到的“部分和”、“平均速度”、“圆内接正多边形面积”，依次是相应的无穷级数和、瞬时速度、圆面积的近似值，取极限后就可得到相应的准确值．这都是借助极限法，从近似认识准确．
