例1.10 某地1993年[[抽样调查]]了100名18岁男大学生身高（cm），其均数=172.70cm，标准差s=4.01cm，①估计该地18岁男大学生身高在168cm以下者占该地18岁男大学生总数的百分数；②分别求X+-1s、X+-1.96s、X+-2.58s范围内18岁男大学生占该地18岁男大学生总数的实际百分数，并与理论百分数比较。
本例，μ、σ未知但[[样本含量]]<i>n</i>较大，按式（3.1）用样本均数X和标准差<i>S</i>分别代替μ和σ，求得<i>u</i>值，<i>u</i>=(168-172.70)/4.01=-1.17。查附表标准正态曲线下的面积，在表的左侧找到-1.1，表的上方找到0.07，两者相交处为0.1210=12.10%。该地18岁男大学生身高在168cm以下者，约占总数12.10%。其它计算结果见表3。
表3 100名18岁男大学生身高的实际分布与理论分布
<table><tr><td align="" width="66">分布
x+-s</td><td align="" width="66">身高范围（cm）</td><td align="" width="66">实际分布sX+-1sX +-1.96sX+-2.58s值可根据要求由表4查出。
人数</td><td align="" width="66">实际分布（3）百分位数法：常用于偏态分布资料以及资料中一端或两端无确切数值的资料。
百分数（%）</td><td align="" width="66">理论分布（%）</td></tr><tr><td align="" width="66">X+-1s</td><td align="" width="66">168双侧界值：97.69～176.71</td><td align="" width="66">67</td><td align="" width="66">67.00</td><td align="" width="66">68.27</td></tr><tr><td align="" width="66">X +-1.96s</td><td align="" width="66">164.84～180.56</td><td align="" width="66">95</td><td align="" width="66">95.00</td><td align="" width="66">95.00</td></tr><tr><td align="" width="66">X+-2.58s</td><td align="" width="66">162.35～183.05</td><td align="" width="66">99</td><td align="" width="66">99.00</td><td align="" width="66">99.00</td></tr></table> ===统计方法的理论基础===如t分布、F分布、分布都是在正态分布的基础上推导出来的，u检验也是以正态分布为基础的。此外，t分布、二项分布、Poisson分布的极限为正态分布，在一定条件下，可以按正态分布原理来处理。 ===概率论中最重要的分布===正态分布有极其广泛的实际背景，生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；弹着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量，等等。一般来说，如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果，那么就可以认为这个量具有正态分布（见中心极限定理）。从理论上看，正态分布具有很多良好的性质 ，许多概率分布可以用它来近似；还有一些常用的概率分布是由它直接导出的，例如对数正态分布、t分布、F分布等。 ===主要内涵===在联系自然、社会和思维的实践背景下，我们以正态分布的本质为基础，以正态分布曲线及面积分布图为表征（以后谈及正态分布及正态分布论就要浮现此图），进行抽象与提升，抓住其中的主要哲学内涵，归纳正态分布论（正态哲学）的主要内涵如下： ===[[整体论]]===正态分布启示我们，要用整体的观点来看事物。“系统的[[整体观念]]或总体观念是系统概念的精髓。” 正态分布曲线及面积分布图由基区、负区、正区三个区组成，各区[[比重]]不一样。用整体来看事物才能看清楚事物的本来面貌，才能得出事物的根本特性。不能只见树木不见森林，也不能以偏概全。此外整体大于部分之和，在分析各部分、各层次的基础上，还要从整体看事物，这是因为整体有不同于各部分的特点。用整体观来看世界，就是要立足在基区，放眼负区和正区。要看到主要方面，还要看到次要方面，既要看到积极的方面还要看到事物消极的一面，看到事物前进的一面还要看到落后的一面。片面看事物必然看到的是偏态或者是变态的事物，不是真实的事物本身。 ===重点论===正态分布曲线及面积分布图非常清晰的展示了重点，那就是基区占68.27%，是主体，要重点抓，此外95%，99%则展示了正态的全面性。认识世界和改造世界一定要住住重点，因为重点就是事物的主要矛盾，它对事物的发展起主要的、支配性的作用。抓住了重点才能一举其纲，万目皆张。事物和现象纷繁复杂，在千头万绪中不抓住主要矛盾，就会陷入无限琐碎之中。由于我们时间和精力的相对有限性，出于效率的追求，我们更应该抓住重点。在正态分布中，基区占了主体和重点。如果我们结合20/80法则，我们更可以大胆的把正区也可以看做是重点。 ===发展论===联系和发展是事物发展变化的基本规律。任何事物都有其产生、发展和灭亡的历史，如果我们把正态分布看做是任何一个系统或者事物的发展过程的话，我们明显的看到这个过程经历着从负区到基区再到正区的过程。无论是自然、社会还是人类的思维都明显的遵循这这样一个过程。准确的把握事物或者事件所处的历史过程和阶段极大的有助于掌握我们对事物、事件的特征和性质，是我们分析问题，采取对策和解决问题的重要基础和依据。发展的阶段不同，性质和特征也不同，分析和解决问题的办法要与此相适应，这就是具体问题具体分析，也是解放思想、实事求是、与时俱乐进的精髓。正态发展的特点还启示我们，事物发展大都是渐进的和累积的，走渐进发展的道路是事物发展的常态。例如，遗传是常态，[[变异]]是非常态。 5；单侧上界：5。
总之，正态分布论是科学的世界观，也是科学的方法论，是我们认识和改造世界的最重要和最根本的工具之一，对我们的理论和实践有重要的指导意义。以正态哲学认识世界，能更好的认识和把握世界的本质和规律，以正态哲学来改造世界，能更好的在尊重和利用客观规律，更有效的改造世界。 ==研究过程==正态分布的概念及特征：表4常用80909599作变量变换。
一、正态分布的概念 由一般分布的频数表资料所绘制的直方图，图（1）可以看出，高峰位于中部，左右两侧大致对称。我们设想，如果观察例数逐渐增多，组段不断分细，直方图顶端的连线就会逐渐形成一条高峰位于中央（均数所在处），两侧逐渐降低且左右对称，不与横轴相交的光滑曲线图（3）。这条曲线称为频数曲线或频率曲线，近似于数学上的正态分布（normal distribution）。由于频率的总和为100%或1，故该曲线下横轴上的面积为100%或1。 为了应用方便，常对正态分布变量<i>X</i>作变量变换。 该变换使原来的正态分布转化为标准正态分布 (standard normal distribution)，亦称<i>u</i>分布。<i>u</i>被称为标准正态变量或标准正态，亦称被称为标准正态变量或标准正态[[离差]]（standard normal deviate）。二、正态分布的特征：
1．正态曲线（normal curve）在横轴上方均数处最高。
4．正态曲线下面积的分布有一定规律。实际工作中，常需要了解正态曲线下横轴上某一区间的面积占总面积的百分数，以便估计该区间的例数占总例数的百分数（频数分布）或观察值落在该区间的概率。正态曲线下一定区间的面积可以通过附表1求得。对于正态或近似正态分布的资料，已知均数和标准差，就可对其频数分布作出概约估计。
查附表1应注意：①表中曲线下面积为-∞到<i>u</i>的左侧累计面积；②当已知μ、σ和<i>X</i>时先按式u∞到时先按式u=(X-μ)/σ求得<i>u</i>值，再查表，当μ、σ未知且样本含量<i>n</i>足够大时，可用样本均数X1和标准差<i>S</i>分别代替μ和σ，按u=(X-X1)/S式求得<i>u</i>值，再查表；③曲线下对称于0的区间面积相等，如区间（σ求得足够大时，可用样本均数X1和标准差值，再查表；③曲线下对称于0的区间面积相等，如区间（-∞，-1.96）与区间（1.96，∞）的面积相等，④曲线下横轴上的总面积为100%或1。
图2 正态曲线与标准正态曲线的面积分布
应用正态分布的具体研究实例智力研究
理查德.赫恩斯坦 [（Richard J. Herrnstein 1930.05.20－1994.09.13），美国[[比较心理学]]家]和默瑞（Charles Murray）合著《正态曲线》一书而闻名，在该书中他们指出人们的智力呈<b>正态分布</b>。智力主要是遗传的并因种族的不同而不同，犹太人、东亚人的智商最高，其次为白人，表现最差的是黑人、西班牙裔人。他们检讨了数十年来心理计量学与政策学的研究成果，发现美国社会轻忽了智商的影响愈变愈大的趋势。他们力图证明，美国现行的偏向于以非洲裔和南美裔为主的低收入阶层的社会政策，如职业培训、大学教育等，完全是在浪费资源。他们利用应募入伍者的测试结果证明，黑人青年的智力低于白人和黄种人；而且，这些人的智力已经定型，对他们进行培训收效甚微。因此，政府应该放弃对这部分人的教育，把钱用于包括所有种族在内的启蒙教育，因为孩子的智力尚未定型，开发潜力大。由于此书涉及黑人的智力问题，一经出版便受到来自四面八方的围攻。 ===能力研究===弗朗西斯.高尔顿 弗朗西斯.高尔顿 [Francis Galton 1822.02.16－1911.01.17]，英国探险家、优生学家、[[心理学]]家，[[差异心理学]]之父，也是[[心理测量学]]上<b>生理计量法</b>的创始人。 Murray）合著《正态曲线》一书而闻名，在该书中他们指出人们的智力呈的创始人。 高而顿对心理学的贡献，大概可以归纳未差异心理学、心理测量的量化和[[实验心理学]]三方面：
1.他率先研究个体差异。他在伦敦南肯辛顿博物馆他的人类测量实验室内，利用仪器作人类学测量及心理测量。测量项目有身高、体重、肺活量、拉力和握力、扣击的速率、听力、[[视力]]、色觉等，以研究能力的个体差异。又用问答法研究意象的个体差异。要求被试先确定一件事，如早餐的情境，然后被试回忆心目中出现餐桌上实物的意象，即食物的鲜明度、确定度等。对答案整理后，他发现被试的意象有很大的个体差异：有的人以[[肌肉]][[运动觉]]意象为主，有的人以[[听觉]]意象为主，有的人以[[视觉]]意象为主。 他强调遗传是形成个体差异的原因。他通过谱系调查，论证[[遗传因素]]与个体差异的关系。
