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正态分布
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例1.10 某地1993年[[抽样调查]]了100名18岁男大学生身高（cm），其均数=172.70cm，标准差s=4.01cm，①估计该地18岁男大学生身高在168cm以下者占该地18岁男大学生总数的百分数；②分别求X+-1s、X+-1.96s、X+-2.58s范围内18岁男大学生占该地18岁男大学生总数的实际百分数，并与理论百分数比较。
本例，μ、σ未知但[[样本含量]]<i>n</i>较大，按式（3.1）用样本均数X和标准差<i>S</i>分别代替μ和σ，求得<i>u</i>值，<i>u</i>=(168-172.70)/4.01=-1.17。查附表标准正态曲线下的面积，在表的左侧找到-1.1，表的上方找到0.07，两者相交处为0.1210=12.10%。该地18岁男大学生身高在168cm以下者，约占总数12.10%。其它计算结果见表3。
表3 100名18岁男大学生身高的实际分布与理论分布
<table><tr><td align="" width="66">分布
x+-sX+-1sX +-1.96sX+-2.58s值可根据要求由表4查出。s</td><td align="" width="66">身高范围（cm）</td><td align="" width="66">实际分布
一、正态分布的概念 由一般分布的频数表资料所绘制的直方图，图（1）可以看出，高峰位于中部，左右两侧大致对称。我们设想，如果观察例数逐渐增多，组段不断分细，直方图顶端的连线就会逐渐形成一条高峰位于中央（均数所在处），两侧逐渐降低且左右对称，不与横轴相交的光滑曲线图（3）。这条曲线称为频数曲线或频率曲线，近似于数学上的正态分布（normal distribution）。由于频率的总和为100%或1，故该曲线下横轴上的面积为100%或1。 为了应用方便，常对正态分布变量<i>X</i>作变量变换。 该变换使原来的正态分布转化为标准正态分布 (standard normal distribution)，亦称被称为标准正态变量或标准正态，亦称<i>u</i>分布。<i>u</i>被称为标准正态变量或标准正态[[离差]]（standard normal deviate）。二、正态分布的特征：
1．正态曲线（normal curve）在横轴上方均数处最高。
4．正态曲线下面积的分布有一定规律。实际工作中，常需要了解正态曲线下横轴上某一区间的面积占总面积的百分数，以便估计该区间的例数占总例数的百分数（频数分布）或观察值落在该区间的概率。正态曲线下一定区间的面积可以通过附表1求得。对于正态或近似正态分布的资料，已知均数和标准差，就可对其频数分布作出概约估计。
查附表1应注意：①表中曲线下面积为-∞到时先按式u∞到<i>u</i>的左侧累计面积；②当已知μ、σ和<i>X</i>时先按式u=(X-μ)/σ求得足够大时，可用样本均数X1和标准差值，再查表；③曲线下对称于0的区间面积相等，如区间（σ求得<i>u</i>值，再查表，当μ、σ未知且样本含量<i>n</i>足够大时，可用样本均数X1和标准差<i>S</i>分别代替μ和σ，按u=(X-X1)/S式求得<i>u</i>值，再查表；③曲线下对称于0的区间面积相等，如区间（-∞，-1.96）与区间（1.96，∞）的面积相等，④曲线下横轴上的总面积为100%或1。
图2 正态曲线与标准正态曲线的面积分布
应用正态分布的具体研究实例智力研究
理查德.赫恩斯坦 [（Richard J. Herrnstein 1930.05.20－1994.09.13），美国[[比较心理学]]家]和默瑞（Charles Murray）合著《正态曲线》一书而闻名，在该书中他们指出人们的智力呈的创始人。 Murray）合著《正态曲线》一书而闻名，在该书中他们指出人们的智力呈<b>正态分布</b>。智力主要是遗传的并因种族的不同而不同，犹太人、东亚人的智商最高，其次为白人，表现最差的是黑人、西班牙裔人。他们检讨了数十年来心理计量学与政策学的研究成果，发现美国社会轻忽了智商的影响愈变愈大的趋势。他们力图证明，美国现行的偏向于以非洲裔和南美裔为主的低收入阶层的社会政策，如职业培训、大学教育等，完全是在浪费资源。他们利用应募入伍者的测试结果证明，黑人青年的智力低于白人和黄种人；而且，这些人的智力已经定型，对他们进行培训收效甚微。因此，政府应该放弃对这部分人的教育，把钱用于包括所有种族在内的启蒙教育，因为孩子的智力尚未定型，开发潜力大。由于此书涉及黑人的智力问题，一经出版便受到来自四面八方的围攻。 ===能力研究===弗朗西斯.高尔顿 弗朗西斯.高尔顿 [Francis Galton 1822.02.16－1911.01.17]，英国探险家、优生学家、[[心理学]]家，[[差异心理学]]之父，也是[[心理测量学]]上<b>生理计量法</b>的创始人。 高而顿对心理学的贡献，大概可以归纳未差异心理学、心理测量的量化和[[实验心理学]]三方面：
1.他率先研究个体差异。他在伦敦南肯辛顿博物馆他的人类测量实验室内，利用仪器作人类学测量及心理测量。测量项目有身高、体重、肺活量、拉力和握力、扣击的速率、听力、[[视力]]、色觉等，以研究能力的个体差异。又用问答法研究意象的个体差异。要求被试先确定一件事，如早餐的情境，然后被试回忆心目中出现餐桌上实物的意象，即食物的鲜明度、确定度等。对答案整理后，他发现被试的意象有很大的个体差异：有的人以[[肌肉]][[运动觉]]意象为主，有的人以[[听觉]]意象为主，有的人以[[视觉]]意象为主。 他强调遗传是形成个体差异的原因。他通过谱系调查，论证[[遗传因素]]与个体差异的关系。
